Algebra 2 Esercizi riassuntivi/5

1. Nel campo ℝ si considerino i sottocampi

K_{1} = ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{6}) e K_{2} = ℚ (1 + \sqrt{2}, \sqrt{3})

Provare che K_{1} = K_{2}.

2. Provare che \sqrt{6} + 3\sqrt{3} ∈ ℝ è algebrico su ℚ.

3. Siano K ⊆ L campi. Provare che se a ∈ L è algebrico su un campo K, allora a + 1 è algebrico su K. Se il polinomio minimo di a ha grado n, che grado ha il polinomio minimo di a + 1?

4. Trovare un numero reale a che sia algebrico su ℚ il cui polinomio minimo ha grado 3, un altro numero reale il cui polinomio minimo ha grado 4, un altro il cui polinomio minimo ha grado 5 ecc. Far vedere in generale che esistono elementi di ℝ il cui polinomio minimo ha grado n per ogni n.

5. Siano K ⊆ L campi. Provare che se a e b sono elementi di L algebrici su K, allora K[a, b] = K(a, b).

6. Trovare il polinomio minimo di \sqrt{6} su ℚ [\sqrt{2}].

7. Trovare il polinomio minimo di \sqrt{15} su ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{6}).

8. Sia K ⊆ L ⊆ M un’estensione di campi. Provare che se a ∈ M è algebrico su K, allora a è anche algebrico su L.

9. Trovare un campo di spezzamento del polinomio x^{2} + 3 ∈ ℚ[x].

10. Provare che ℂ = ℝ[\sqrt{−3}].

11. Provare che, dato un quadrato di lato 5, si può, costruire con riga e compasso, un triangolo rettangolo con base 5 che sia equivalente al quadrato; provare poi che non si può invece costruire un triangolo rettangolo equivalente al quadrato ma con base ^{3} \sqrt{5}.

12. Sia K ⊆ L un’estensione di campi. Provare che se a ∈ L è algebrico su K, allora a^{2} è algebrico su K.

13. Provare che un elemento a ∈ ℂ è algebrico su ℚ se e solo se \sqrt{a} è algebrico su ℚ.

14. Si consideri l’estensione di campi: L : K e siano a, b ∈ L algebrici su K. Provare che allora a + b e ab sono algebrici su K. Suggerimento: considerare

K[a, b] : K e K[a + b] : K…

15. Provare che ℤ_{3}[x]/(x^{2} + 1) è un campo, dire quanti elementi ha e trovare tutti i suoi elementi primitivi.

16. Stabilire quanti sono i polimomi monici di ℤ_{5}[x], di grado 6, la cui scomposizione in fattori irriducibili è della forma: q_{1}q_{2}, dove q_{1} è un polinomio lineare.

17. Provare che l’anello quoziente K = ℤ_{2}[x]/(x^{2} + x + 1) è un campo e dire chi sono tutti gli elementi primitivi di K. Scrivere poi, per ogni elemento a ∈ K \ {0}, il suo polinomio minimo f_{a} su ℤ_{2}.

18. Sia F = GF(p, n), con p ed n numeri primi. Trovare tutti i sottocampi di F (cioè tutti i campi K di cui F è un’estensione).

19. Sia F = ℤ_{2}[t]/(t^{4} +t+1) (si dia per noto il fatto che t^{4} +t+1 è irriducibile in ℤ_{2}[t], pertanto F è un campo). Siano a, b ∈ F, con a = [t^{2} + t + 1] e b = [t + 1]. Trovare i polinomi minimi di a e b su ℤ_{2}. Trovare poi un campo intermedio tra ℤ_{2} ed F (diverso da ℤ_{2} ed F).

20. I polinomi f = x^{3} + x + 1 e g = x^{3} + x^{2} + 1 sono irriducibili in ℤ_{2}[x], pertanto K_{1} = ℤ_{2}[x]/(f) e K_{2}[x]/(g) sono campi finiti entrambi con 8 elementi, quindi isomorfi. Trovare esplicitamente un isomorfismo tra K_{1}

e K2. (Suggerimento: considerare i possibili omomorfismi di anelli ϕ : ℤ2[x] ⟶ ℤ2[x]/(g) e trovarne uno con il nucleo giusto…).

21. Dire quanti sono tutti gli automorfismi del campo GF(2, 2).