\documentclass{article}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{Algebra 2}\\
Esercizi riassuntivi/2
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sia $A$ un anello (commutativo, unitario), $A[x]$ l'anello dei polinomi
in~$x$ a coefficienti in $A$ e 
$F : A[x] \longrightarrow A[x]$ data da $F(a) = a$ per ogni $a\in A$, 
$F(x) = x+1$ (e poi estesa nell'unico modo possibile che la rende 
omomorfismo di anelli). Provare che $F$ \`e un automorfismo di $A[x]$.

\item Siano $A, B$ anelli (commutativi, unitari), $\phi :A \longrightarrow B$
un omomorfismo di anelli e $\Phi : A[x] \longrightarrow B[x]$ ottenuta da
$\Phi(a) = \phi(a)$ per ogni $a\in A$ e $\Phi(x) = x$. Provare:
  \begin{itemize}
    \item se $\phi$ \`e iniettiva, allora $\Phi$ \`e iniettiva;
    \item se $\phi$ \`e suriettiva, allora $\Phi$ \`e suriettiva;
    \item $\Phi$ \`e un isomorfismo se e solo se $\phi$ \`e un isomorfismo.
  \end{itemize}

\item Sia $A$ un anello (commutativo, unitario) e $I \subseteq A$ un 
ideale di $A$. Sia poi $J$ l'ideale generato da $I$ nell'anello $A[x]$. 
Provare che vale:
\[
J = \{ a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \mid n \in \mathbb{N}, \ a_i \in I\}
\]
(cio\`e $J$ risulta l'insieme di tutti i polinomi di $A[x]$ a coefficienti 
in $I$). L'ideale $J$ si indica solitamente con $I[x]$. 
\label{ese3}

\item Siano $A, B$ anelli (commutativi, unitari), $\phi :A \longrightarrow B$
un omomorfismo di anelli e $\Phi : A[x] \longrightarrow B[x]$ ottenuta da
$\Phi(a) = \phi(a)$ per ogni $a\in A$ e $\Phi(x) = x$. Provare che 
$\ker(\Phi) = \ker(\phi)[x]$ (usando la notazione introdotta 
nell'esercizio~\ref{ese3}).

\item Sia $A$ un anello (commutativo, unitario) e $I \subseteq A$ un 
ideale di $A$. Provare che vale: 
\[
 \frac{A[x]}{I[x]} \cong \frac{A}{I}[x]
\]

\item Sia $K$ un campo, $\alpha \in K$ un elemento fissato e sia 
$v : K[x] \longrightarrow K$ l'omomorfismo di valutazione tale
che $v(x) = \alpha$ (cio\`e $v(f(x)) = f(\alpha)$). Trovare $\ker(v)$.

\item Siano $f= x^3-x$ e $g = x^4-x^3+3x-3$ due polinomi di $\mathbb{Q}[x]$.
Calcolare il massimo comun divisore $d$ di $f$ e $g$ e trovare poi 
due polinomi $a, b \in \mathbb{Q}[x]$ tali che $d = af+bg$.


\end{enumerate}

\end{document}
