\documentclass[a4paper]{article}

\pagestyle{empty}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[italian]{babel}

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{Algebra 2}\\
Esercizi riassuntivi/5
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Nel campo $\mathbb{R}$ si considerino i sottocampi 
\[K_1 = \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}, \sqrt{6}\right) \quad \mbox{e} \quad 
K_2 = \mathbb{Q}\left(1+\sqrt{2}, \sqrt{3}\right)
\]
Provare che $K_1=K_2$. 
\item Siano $K \subseteq L$ campi. Provare che se $a\in L$ \`e algebrico 
su un campo $K$, allora $a+1$ \`e algebrico su $K$. Se il polinomio minimo
di $a$ ha grado $n$, che grado ha il polinomio minimo di $a+1$?
\item Trovare un numero reale $a$ che sia algebrico su $\mathbb{Q}$ il 
cui polinomio minimo ha grado 3, un altro numero reale il cui polinomio 
minimo ha grado 4, un altro il cui polinomio minimo ha grado 5 ecc.\
Far vedere in generale che esistono elementi di $\mathbb{R}$ il cui 
polinomio minimo ha grado $n$ per ogni $n$.  
\item Siano $K \subseteq L$ campi. Provare che se $a$ e $b$ sono elementi
di $L$ algebrici su $K$, allora $K[a, b]=K(a,b)$, cio\`e il pi\`u piccolo
anello che contiene $K, a$ e $b$ \`e un campo.
\item Trovare il polinomio minimo di $\sqrt{15}$ su 
$\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\right)$.

\item Sia $K \subseteq L \subseteq M$ un'estensione di campi. Provare che
se $a\in M$ \`e algebrico su $K$, allora $a$ \`e anche algebrico su $L$. 
\item Trovare un campo di spezzamento del polinomio $x^2+3 \in \mathbb{Q}[x]$.
\item Provare che $\mathbb{C} = \mathbb{R}[\sqrt{-3}]$.
\item Provare che, dato un quadrato di lato $5$, si pu\`o, costruire con 
riga e compasso, un triangolo rettangolo con base $5$ che sia 
equivalente al quadrato; provare poi che non si pu\`o invece costruire 
un triangolo rettangolo equivalente al quadrato ma con base $\sqrt[3]{5}$.
\item Sia $K \subseteq L$ un'estensione di campi. Provare che se 
$a\in L$ \`e algebrico su $K$, allora $a^2$ \`e algebrico su $K$.
\item Provare che un elemento $a\in \mathbb{C}$ \`e algebrico su $\mathbb{Q}$
se e solo se $\sqrt{a}$ \`e algebrico su $\mathbb{Q}$. 

\item Provare che $\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1)$ \`e un campo, dire quanti elementi
ha e trovare tutti i suoi elementi primitivi.
\item Stabilire quanti sono i polimomi monici di $\mathbb{Z}_5[x]$, di 
grado 6, la cui scomposizione in fattori irriducibili \`e della forma:
$q_1q_2$, dove $q_1$ \`e un polinomio lineare. 
\item Provare che l'anello quoziente $K = \mathbb{Z}_2[x]/(x^2+x+1)$ 
\`e un campo e dire chi sono tutti gli elementi primitivi di $K$. Scrivere
poi, per ogni elemento $a\in K\setminus \{0\}$, il suo polinomio minimo $f_a$
su $\mathbb{Z}_2$.
\item Sia $F= \mbox{GF}(p, n)$, con $p$ ed $n$ numeri primi. Trovare tutti 
i sottocampi di $F$ (cio\`e tutti i campi $K$ di cui $F$ \`e un'estensione).
\item Sia $F=\mathbb{Z}_2[t]/(t^4+t+1)$ (si dia per noto il fatto che 
$t^4+t+1$ \`e irriducibile in $\mathbb{Z}_2[t]$, pertanto $F$ \`e un campo). 
Siano $a, b \in F$, 
con $a=[t^2+t+1]$ e $b = [t+1]$. Trovare i polinomi minimi di $a$ e $b$ su 
$\mathbb{Z}_2$. Trovare poi un campo intermedio tra $\mathbb{Z}_2$ ed $F$
(diverso da  $\mathbb{Z}_2$ ed $F$).
\item I polinomi $f = x^3+x+1$ e $g = x^3+x^2+1$ sono irriducibili 
in $\mathbb{Z}_2[x]$, pertanto $K_1 = \mathbb{Z}_2[x]/(f)$ e $K_2[x]/(g)$
sono campi finiti entrambi con $8$ elementi, quindi isomorfi.
Trovare esplicitamente un isomorfismo tra $K_1$ e $K_2$. 
{\tiny(Suggerimento: considerare i possibili  omomorfismi di anelli
$\phi:\mathbb{Z}_2[x] \longrightarrow \mathbb{Z}_2[x]/(g)$ e trovarne uno
con il nucleo giusto$\dots$)}.
\item Dire quanti sono tutti gli automorfismi del campo $\mbox{GF}(2, 2)$.

\item Un anello $A$ (commutativo unitario) si dice \textit{booleano} se vale 
la condizione: $a^2 = a$ per ogni $a \in A$. Provare le seguenti propriet\`a
di un anello booleano $A$:
\begin{itemize}
\item La caratteristica di $A$ vale 2.
\item Se $A$ \`e finito, allora esite un $n\in \mathbb{N}$ tale che $A$ 
ha $2^n$ elementi.  
\item ogni ideale di $A$ primo \`e anche massimale. 
\item Se ${\mathcal M}$ \`e un ideale massimale di $A$, allora $A \setminus 
{\mathcal M} = \{ 1-a \mid a \in {\mathcal M}\}$
\item Se $I$ \`e un ideale finitamente generato di $A$, allora $I$ \`e
principale. {\tiny(Suggerimento: provare che $(a, b) = (a + ab +b)$)}
\end{itemize}
\end{enumerate}


\end{document}
