Algebra 2 Esercizi riassuntivi/5

1. Nel campo ℝ si considerino i sottocampi

K_{1} = ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{6}) e K_{2} = ℚ (1 + \sqrt{2}, \sqrt{3})

Provare che K_{1} = K_{2}.

2. Siano K ⊆ L campi. Provare che se a ∈ L è algebrico su un campo K, allora a + 1 è algebrico su K. Se il polinomio minimo di a ha grado n, che grado ha il polinomio minimo di a + 1?

3. Trovare un numero reale a che sia algebrico su ℚ il cui polinomio minimo ha grado 3, un altro numero reale il cui polinomio minimo ha grado 4, un altro il cui polinomio minimo ha grado 5 ecc. Far vedere in generale che esistono elementi di ℝ il cui polinomio minimo ha grado n per ogni n.

4. Siano K ⊆ L campi. Provare che se a e b sono elementi di L algebrici su K, allora K[a, b] = K(a, b), cioè il più piccolo anello che contiene K, a e b è un campo.

5. Trovare il polinomio minimo di \sqrt{15} su ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{6}).

6. Sia K ⊆ L ⊆ M un’estensione di campi. Provare che se a ∈ M è algebrico su K, allora a è anche algebrico su L.

7. Trovare un campo di spezzamento del polinomio x^{2} + 3 ∈ ℚ[x].

8. Provare che ℂ = ℝ[\sqrt{−3}].

9. Provare che, dato un quadrato di lato 5, si può, costruire con riga e compasso, un triangolo rettangolo con base 5 che sia equivalente al quadrato; provare poi che non si può invece costruire un triangolo rettangolo equivalente al quadrato ma con base ^{3} \sqrt{5}.

10. Sia K ⊆ L un’estensione di campi. Provare che se a ∈ L è algebrico su K, allora a^{2} è algebrico su K.

11. Provare che un elemento a ∈ ℂ è algebrico su ℚ se e solo se \sqrt{a} è algebrico su ℚ.

12. Provare che ℤ_{3}[x]/(x^{2} + 1) è un campo, dire quanti elementi ha e trovare tutti i suoi elementi primitivi.

13. Stabilire quanti sono i polimomi monici di ℤ_{5}[x], di grado 6, la cui scomposizione in fattori irriducibili è della forma: q_{1}q_{2}, dove q_{1} è un polinomio lineare.

14. Provare che l’anello quoziente K = ℤ_{2}[x]/(x^{2} + x + 1) è un campo e dire chi sono tutti gli elementi primitivi di K. Scrivere poi, per ogni elemento a ∈ K \ {0}, il suo polinomio minimo f_{a} su ℤ_{2}.

15. Sia F = GF(p, n), con p ed n numeri primi. Trovare tutti i sottocampi di F (cioè tutti i campi K di cui F è un’estensione).

16. Sia F = ℤ_{2}[t]/(t^{4} +t+1) (si dia per noto il fatto che t^{4} +t+1 è irriducibile in ℤ_{2}[t], pertanto F è un campo). Siano a, b ∈ F, con a = [t^{2} + t + 1] e b = [t + 1]. Trovare i polinomi minimi di a e b su ℤ_{2}. Trovare poi un campo intermedio tra ℤ_{2} ed F (diverso da ℤ_{2} ed F).

17. I polinomi f = x^{3} + x + 1 e g = x^{3} + x^{2} + 1 sono irriducibili in ℤ_{2}[x], pertanto K_{1} = ℤ_{2}[x]/(f) e K_{2}[x]/(g) sono campi finiti entrambi con 8 elementi, quindi isomorfi. Trovare esplicitamente un isomorfismo tra K_{1}

e K2. (Suggerimento: considerare i possibili omomorfismi di anelli ϕ : ℤ2[x] ⟶ ℤ2[x]/(g) e trovarne uno con il nucleo giusto…).

18. Dire quanti sono tutti gli automorfismi del campo GF(2, 2).

19. Un anello A (commutativo unitario) si dice booleano se vale la condizione: a^{2} = a per ogni a ∈ A. Provare le seguenti proprietà di un anello booleano A:

• La caratteristica di A vale 2.

• Se A è finito, allora esite un n ∈ ℕ tale che A ha 2^{n} elementi.

• ogni ideale di A primo è massimale.

• Se M è un ideale massimale di A, allora A \ M = {1 − a | a ∈ M}

• Se I è un ideale finitamente generato di A, allora I è principale.

(Suggerimento: provare che (a, b) = (a + ab + b))