Algebra 2 Esercizi riassuntivi/1

1. Sia X un insieme e A = {f : X ⟶ ℚ}. Dati f, g ∈ A si definisca f + g con la legge: (f + g)(x) = f(x) + g(x) e analogamente si definisca f · g.

(a) Provare che (A, +, ·) è un anello commutativo unitario.

(b) Se X è costituito da 2 elementi, come si può anche indicare A?

(c) Sia X un insieme infinito e sia

B = {f ∈ A | con f(x) = 0 per quasi ogni x ∈ X}

B eredita somma e prodotto da A. B è un anello commutativo unitario?

2. Siano A e B anelli commutativi unitari. Provare che, se α è un ideale di A e β è un ideale di B, allora α × β è un ideale di A × B. Provare che tutti gli ideali di A × B sono di questa forma. In particolare, descrivere tutti gli ideali di ℚ × ℚ.

3. Siano A e B domini d’integrità. Trovare tutti i divisori dello zero di A×B.

4. Siano I, J due ideali di un anello A. Sia X = I ∪ J. Provare che vale:

(X) = {a + b | a ∈ I, b ∈ J}

(dove, al solito, (X) indica l’ideale generato da X). In questo caso l’ideale (X) si indica con I + J e si dice ideale somma di I e J.

5. Trovare un esempio che dimostri che I + J non coincide con I ∪ J.

6. Sia A un anello e siano I, J due ideali di A tali che I + J = (1). Provare che gli anelli A/(I ∩ J) e A/I × A/J sono isomorfi.