Università di Trieste - A.A. 2021/22

Algebra 2

Corso di Studi: Laurea triennale in Matematica

Docente: prof. Alessandro Logar

In questa pagina si possono trovare varie indicazioni relative all'insegnamento di Algebra 2 (6 cfu) relativo al corso di Studi della laurea triennale in Matematica (anni accademici 2018-19, 2019-20, 2020-21, 2021-22).
Il sito verrà via via aggiornato con esercizi e altre indicazioni nel corso del semestre e, a corso finito, viene aggiornato con i testi degli esercizi scritti dati nei vari appelli d'esame.

Testi consigliati:

Lindsay N. Childs, A concrete introduction to higher algebra, third edition, Springer.
Disponibile nella Biblioteca di Scienze Matematiche del DMG e anche in una versione in rete.
N. Jacobson, Basic algebra Disponibile nella Biblioteca di Scienze Matematiche del DMG
I. N. Herstein, Algebra, Roma, Editori Riuniti (1992) Disponibile presso la biblioteca di Scienze Matematiche.
(Per approfondimenti su teoria dei Gruppi) John Rose A course on Group theory, Cambridge University Press.
I. Stewart, Galois Theory, Disponibile nella Biblioteca di Scienze Matematiche del DMG.

Programma completo del corso:

Esercizi a.a. 2021-22

Registrazione delle lezioni (a.a. 2021/22)

Lezione 1. (6 ott) Introduzione al corso. Richiami sui gruppi. Gruppi di permutazioni, sottogruppi, laterali di un sottogruppo, sottogruppi normali. Gruppo delle permutazioni.
Video 1
Lezione 2. (8 ott) Sottogruppi normali, gruppi quozienti, omomorfismi di gruppi. Nucleo di un omomorfismo. I teoremi di omomorfismo. Gruppi ciclici.
Video 2A, Video 2B.
Lezione 3. (13 ott) Ancora sui gruppi ciclici. Ordine di un elemento in un gruppo. Sottogruppi di Z. Divisione con resto tra numeri naturali. Richiami sugli anelli. Ideali, anelli quoziente, teoremi omomorfismo. Gli anelli Z_m. Campi. Esempi.
Video 3A, Video 3B.
Lezione 4. (15 ott) Ideali di un anello, ideali finitamente generati, ideali principali. Elementi primi, irriducibili, unitari in un anello (dominio). Massimo comun divisore in un anello (dominio). In un dominio, un elemento primo è irriducibile. In generale non vale il viceversa. Divisone in $Z. Massimo comun divisore in Z. L'algoritmo di Euclide. Identità di Bezout.
Video 4A, Video 4B.
Lezione 5. (21 ott) In Z irriducibile è equivalente a primo. Funzione di Eulero. Il gruppo U_m. Il teorema di Eulero, il piccolo teorema di Fermat. Alcuni esempi e applicazioni. Il teorema cinese dei resti.
Video 5A, Video 5B.
Lezione 6. (22 ott) Il teorema cinese dei resti: altra formulazione. Gruppi finiti. Problema di invertire il teorema di Lagrange. Caso dei gruppi ciclici e dei gruppi abeliani finti. Definizione di p-gruppo, di p-sottoguppo e di p-sottogruppo di Sylow. I tre teoremi di Sylow.
Video 6A, Video 6B.
Lezione 7. (27 ott) Discussione sui tre teoremi di Sylow. Esempi.
Video 7A, Video 7B.
Correzione esercizi 14 ottobre (27 ott)
Lezione 8. (29 ott) Costruzione dell'anello dei polinomi a coefficienti in un anello. Varie definizioni. Grado, coefficiente direttivo, termine noto... Se A è un dominio, A[x] è un dominio. Teorema di estensione di un omomorfismo tra due anelli A e B ad un omomorfismo tra l'anello dei polinomi A[x] e B (mandando x in un elemento fissato b di B).
Video 8A, Video 8B.
Lezione 9. (5 nov) Divisione tra polinomi. Conseguenze della divisione. Teoremi di Ruffini e D'Alambert. In K[x] (K campo) tutti gli ideali sono principali (l'anello dei polinomi su un campo è un PID). Massimo comun divisore tra due polinomi. L'identità di Bezout. In K[x] (come in Z) primo = irriducibile. Definizione di dominio a fattorizzazione unica (UFD).
Video 9A, Video 9B.
Lezione 10. (10 nov) Domini a fattorizzazione unica. L'anello degli interi è un UFD. L'anello dei polinomi in una variabile su un campo è un UFD. L'anello Z[x] non è un PID.
Video 10A, Video 10B.
Correzione esercizi 30 ottobre (11 nov)
Lezione 11. (12 nov) Polinomi primitivi. Lemma di Gauss. Legame tra la fattorizzazione di polinomi in Z[x] e in Q[x]. L'anello Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica. Polinomi irriducivili in C[x]. Cenno al teorema fondamentale dell'algebra.
Video 11A, Video 11B.
Lezione 12. (17 nov) Polinomi irriducibili in C[x] (solo polinomi di grado 1), polinomi irriducibili in R[x] (solo polinomi di grado 1 e polinomi di grado 2 con discriminante negativo). Polinomi irriducibili in Q[x] e in Z[x]. Il criterio di irriducibilità di Eisenstein.
Caratteristica di un anello.
Video 12A, Video 12B.
Lezione 13. (19 nov) Omomorfismo (automorfismo) di Frobenius. Campo perfetto. Derivato di un polinomio e sue proprietà. Polinomi con derivato nullo. Come trovare se un polinomio ha fattori multipli.
Video 13A, Video 13B.
Lezione 14. (24 nov) In un anello di polinomi su un campo perfetto o su un campo di caratteristica 0, un polinomio ha fattori multipli se e solo se il mcd tra il polinomio e il suo derivato non e' unitario. Ideali di K[x] (con K campo). Ideali primi e massimali (che coincidono). Studio del quoziente di K[x] su un ideale (f). In particolare, K[x]/(f) è uno spazio vettoriale su K di dimensione il grado di f.
Video 14A, Video 14B.
Lezione 15. (26 nov) Il teorema cinese dei resti per polinomi. Esempi. La fattorizzazione di polinomi in Z_p[x]. Il primo e il secondo teorema di Berlekamp. Esempi.
Alcune note relative ai teoremi di Berlekamp.
Video 15A, Video 15B.
Lezione 16. (1 dic) Ancora sui primi due teoremi di Berlekamp. Vari esempi.
Video 16A, Video 16B.
Lezione 17. (3 dic) Il terzo teorema di Berlekamp. Dimostrazione ed esempi.
Video 17
Lezione 18. (10 dic) Polinomi in n variabili. Definizioni e proprietà. Se A è un dominio, l'anello di polinomi in n variabili con coefficienti in A è un dominio. Analogo risultato per il caso UFD (con breve cenno di dimostrazione). Estensione di un omomorfismo nell'anello dei polinomi. Esempi di ideali nell'anello dei polinomi. Il più anello che contiene un anello dato e un numero finito di elementi. Estensione di campi. Definizione di elemento algebrico e trascendente.
Video 18A, Video 18B.
Lezione 19. (15 dic) Polinomio minimo di un elemento. K[a] e K[x]/(m) (sono isomorfi). Il polinomio minimo è irriducibile. Estensione algebrica. Grado di un'estensione. Teorema della torre. Un'estensione di grado finito è sempre algebrica. Se a è algebrico su un campo K e il suo polinomio minimo ha grado n, allora K[a] è un'estensione algebrica di grado n. Esempi.
Video 19A, Video 19B.
Correzione esercizi 27 novembre (15 dic)
Lezione 20. (17 dic) Campo di spezzamento (o di riducibilità completa) di un polinomio. Costruzione del campo complesso come campo di spezzamento del polinomio (a coefficienti reali) x²+1. Ogni campo contiene o il campo dei razionali o il campo Z_p, quindi è uno spazio vettoriale su Q o su Z_p
Campi finiti: primi teoremi. Un campo finito ha pⁿ. Teorema dell'elemento primitivo: in un campo finito il gruppo degli elementi invertibili è ciclico. Un campo finito è della forma Z_p[x]/(q), dove q è un polinomio irriducibile di Z_p[x]. Dato un primo p e un numero naturale n, esiste sempre un campo con pⁿ elementi.
Video 20A, Video 20B.
Lezione 21. (22 dic) Teorema dell'elemento primitivo (gli elementi invertibili di un campo finito sono un gruppo ciclico). Ancora risultati sui gruppi finiti: due campi finiti con lo stesso numero di elementi sono isomorfi.
Video 21A, Video 21B
Lezione 22. Lezione registrata. Esempi di ideali primi e massimali nell'anello di polinomi in n variabili. Dimostrazione del teorema della torre.
Video22A, Video 22B.
Lezione 23 (12 gen). Discussione esercizi.
Lezione 24 (14 gen). Discussione esercizi.

Scritti degli esami

Anni accademici precedenti

registrazione delle lezioni a.a. 20-21: Si veda qui.

Esercizi a.a. 2020-21

Esercizi a.a. 2019-20

Esempi utili

Esercizi a.a. 2018-19

Diario delle lezioni

Lezione 1: Introduzione al corso. Richiami su definizione di gruppi, sottogruppi, classi laterali (destre e sinistre), primi esempi di gruppi.
Lezione 2: Sottogruppi normali, gruppi quoziente, omomorfismi di gruppi. Il nucleo di un omomorfismo. L'omomorfismo canonico da un gruppo nel suo quoziente fatto rispetto ad un sottogruppo normale. Teoremi di omomorfismo. Legge del doppio quoziente. Gruppi ciclici.
Lezione 3: Ancora sui gruppi ciclici. Esempi. I gruppi ciclici delle radice n-ime dell'unità. Definizione di anelli, di ideali, ideali destri sinistri, bilateri, ideali in anelli commutativi. Ideali di Z.
Lezione 4: Omomorfismi di anelli. Teoremi di omomorfismo. Campi. Ideali nei campi. Ideali generati da un insieme. Ideali finitamente generati. Ideali principali. Definizione di PID (dominio ad ideali principali).
Lezione 5: Elementi invertibili in un anello. Elementi primi e irriducibili in un dominio d'integrità. In un dominio, se un elemento è primo, allore è anche irriducibile. Definizione di massimo comun divisore tra due elementi di un anello. La divisione nell'anello degli interi Z. Calcolo del massimo comun divisore in Z per mezzo dell'algoritmo di Euclide. L'identità di Bezout. Il gruppo degli elementi invertibili di Z_n. La funzione di Eulero e il piccolo teorema di Fermat.
Lezione 6: Teorema cinese dei resti per numeri interi. Conseguenza/altra formulazione del teorema: se m₁, ..., m_n sono numeri naturali a due a due coprimi, allora Z_m è isomorfo al prodotto Z_{m_1}x ... x Z_{m_n}, dove m è il prodotto degli m_i.
Alcuni approfondimenti sui gruppi finiti. Quando si può invertire il teorema di Lagrange? Se G è un gruppo ciclico finito e se m divide il suo ordine, G ha un sottogruppo di ordine m. Teorema di Cauchy per gruppi abeliani: Dato un gruppo finito abeliano G di ordine m, se p è un primo che divide m, allora G ha un elemento di ordine p. Se G è un gruppo abeliano finito di ordine n e se m divide n, allora G ha un sottogruppo di ordine m.
Lezione 7: Gruppi finiti: i tre teoremi di Sylow (senza dim). Definizione di p sottogruppo e di p sottogruppo di Sylow di un gruppo. Teorema di Cauchy (per gruppi non abeliani).
La costruzione dell'anello dei polinomi in una variabile.
Lezione 8: Ancora sulla costruzione dell'anello dei polinomi. Grado di un polinomio, termine/coefficiente direttivo di un polinomio, termine noto, polinomio monico. Dati due polinomi di A[x], se i loro coefficienti direttivi non sono divisori dello zero, allora il grado del loro prodotto è la somma dei loro gradi. Se A è un dominio di integrità, allora A[x] è anche un dominio. Un omomorfismo tra due anelli A, B si estende in unico modo ad un omomorfismo tra A[x] e B[y] che manda x in y. Omomorfismo di valutazione (che manda un polinomio f(x) di A[x] nell'elemento f(a) di A). Dato un omomorfismo h da A in B ed un elemento b di B, esiste un unico omomorfismo da A[x] in B che estende h e che manda x in b. Divisione tra polinomi: dati f, g in A[x], se il coefficiente direttivo di f è invertibile, allora esistono due polinomi q, r unici con grado di r minore del grado di f tali che g = qf+r.
Teorema di Ruffini: il resto della divisione di un polinomio di K[x] (con K campo) quando viene diviso per x-a vale f(a); inoltre f è divisibile per x-a se e solo se f(a)=0.
Teorema di D'Alambert: un polinomio di grado n a coefficienti in un campo ha al massimo n radici. Conseguenza: se il campo K dei coefficienti è infinito, allora f=g se e solo se f(a)=g(a) per ogni a in K.
Lezione 9: Elementi associati in un anello. Definizione di massimo comun divisore in un dominio. Unicità del massimo comun divisore (a meno di associati). Il massimo comun divisore tra polinomi in una variabile (a coefficienti in un campo). Costruzione del massimo comun divisore tra polinomi per mezzo della divisione e identità di Bezout. L'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti su un campo è ad ideali principali (PID). Esempi. L'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti negli interi non è invece un PID.
Lezione 10: Elementi primi e irriducibili in un dominio. Se in un dominio esiste il massimo comun divisore, allora primo = irriducibile. Fattorizzazione unica in irriducibili in K[x] (con K campo). Unicità della fattorizzazione. Tutti i polinomi di grado 1 sono irriducibili in K[x]. Teorema fondamentale dell'algebra: ogni polinomio di grado almeno 1 con coefficienti nel campo complesso ha almeno una radice (nel campo complesso). Conseguenza: gli unici polinomi irriducibili in C[x] sono i polinomi di grado 1; ogni polinolmio di grado almeno 1 è prodotto di polinomi lineari. Cenno alla dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.
Lezione 11: Fattorizzazione in R[x]. Tutti i polinomi irriducibili sono o di grado 1 o grado 2 e con discriminante negativo. Problema della comprensione dei polinomi iriducibili in Q[x]. Definizione di polinomio primitivo in Q[x] (un polinomio a coefficienti interi con i coefficienti primi tra loro). Ogni polinomio di Q[x] è associato ad un polinomio primitivo. Il prodotto di due polinomi primitivi è primitivo. Se due polinomi primitivi sono associati, allora o sono uguali o opposti. Lemma di Gauss. Conseguenze del lemma di Gauss: un polinomio primitivo (non constante) è irriducibile in Z[x] se e solo se è irriducibile in Q[x].
Lezione 12: Definizione di dominio a fattorizzazione unica (UFD). Esempi: gli anelli Z e K[x] (con K campo) sono UFD.
Ogni polinomio primitivo in Z[x] è prodotto di polinomi irriducibili in Z[x], primitivi, essenzialmente in unico modo. L'anello dei polinomi Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica. Metodo per trovare se un polinomio in Q[x] (o in Z[x]) ha dei fattori lineari o, equivalentemente, se ha una radice razionale p/q (basta ricercare p tra i fattori del termine noto del polinomio e q tra i fattori del coefficiente direttivo del polinomio). Criterio di irriducibiltà di Eisenstein. Conseguenze: ci sono infiniti polinomi irriducibili in Q[x] in ogni grado.
Caratteristica di un anello.
Lezione 13: Ancora sulla caratteristica di un anello. Ogni anello unitario contiene una copia di Z (se è di caratteristica 0) o una copia di Z_m (se è di caratteristica m). Un dominio ha sempre caratteristica 0 o un numero primo p. In un anello di caratteristica p (numero primo) vale la formula (a+b)^p=a^p+b^p. L'omomorfismo di Frobenius. Definizione di campo perfetto: un campo di caratteristica p è perfetto se l'omomorfismo di Frobenius è un isomorfismo, cioè se ogni elemento del campo ammette una radice p-ima. I campi finiti sono perfetti. Nei campi Z_p ogni elemento è radice p-ima di sè stesso.
Definizione di derivato D(f) di un polinomio f (in K[x] con K campo). L'applicazione D dell'anello dei polinomi in sè è lineare e inoltre vale: D(fg) = D(f) g + f D(g). Se un campo è di caratteristica zero, allora D(f) = 0 comporta che f è in K. Se un campo è di caratteristica p ed è perfetto, allora D(f) = 0 comporta che f è la potenza p-ima di un polinomio.
Lezione 14: Uso del massimo comun divisore tra un polinomio e il suo derivato per scoprire se il polinomio ha fattori multipli. Vale: Se il campo K è di caratteristica zero o è un campo perfetto, allora un polinomio f di K[x] ha fattori multipli se e solo se il massimo comun divisore tra f e D(f) non è unitario.
Problema della fattorizzazione di polinomi in Z_p[x]. Il primo teorema di Berlekamp.
Appunti sui teoremi di Berlekamp.
Lezione 15: Il secondo teorema di Berlekamp. Esempi.
Lezione 16: Il terzo teorema di Berlekamp ed esempi. Esempio completo di fattorizzazione con il metodo di Berlekamp. Altri esempi.
Lezione 17: Polinomi in più variabili, definiti induttivamente. Definizione monomi e termini. Definizione di grado (globale e rispetto ad una variabile) di un polinomio. Principio di identità di polinomi. Se A è un dominio, anche A[x₁, ..., x_n] è un dominio, se A è un UFD (dominio a fattorizzazione unica), anche A[x₁, ..., x_n] è un UFD. A[x₁, ..., x_n], se n > 1, non è un PID. Esempi. Teorema di estensione di un omomorfismo f tra due anelli A e B ad un omomorfismo F tra A[x₁, ..., x_n] che estende f e che manda x₁, ..., x_n in n elementi di B fissati. Ideali in K[x₁, ..., x_n] (con K campo). Esempi.
Lezione 18: Esempi di ideali in K[x₁, ..., x_n] (con K campo). Ideali della forma (x₁-a₁, ..., x_n-a_n) sono ideali massimali. Un modo per provarlo utilizza il teorema di estensione di un omomorfismo da K[x₁, ..., x_n] in K che estende l'identità su K e manda x_i in a_i.
Lezione 19: Se B è un anello, se A è un sottoanello di B e se b₁, ..., b_n sono n elementi di B fissati, allora con A[b₁, ..., b_n] si indica il più piccolo sottoanello di B che contiene A e b₁, ..., b_n (esiste sempre, basta prendere l'intersezione di tutti i sottoanelli di B che contengono A e b₁, ..., b_n). Se si definisce l'omomorfismo di anelli F : A[x₁, ..., x_n] --> B tale che F(a)=a per ogni a elemento di A e F(x_i)=b_i, si vede che A[b₁, ..., b_n] è l'immagine di F, pertanto è costituito da tutti i polinomi in x₁, ..., x_n a coefficienti in A valutati in b₁, ..., b_n.
Estensione di campi. Se L è un campo, K è un sottocampo e se b₁, ..., b_n sono elementi di L, con K(b₁, ..., b_n) si indica il più piccolo campo che contiene K e gli elementi b₁, ..., b_n. Si vede che K(b₁, ..., b_n)= Q(K[b₁, ..., b_n]) L è un'estensione finitamente generata di K se L è della forma K(b₁, ..., b_n) (con b₁, ..., b_n elementi di L). In particolare, se n=1, l'estensione di dice semplice. Esempi. Se L è un campo e K è un sottocampo di L, allora un alemento a di L si dice algebrico su K se esiste un polinomio f in K[x] non nullo, tale che f(a)=0. Se a non è algebrico, allora a si dice trascendente (su K).
Lezione 20: Se a è un elemento di un campo L ed è algebrico su un campo K, allora il polinomio monico di grado minimo possibile a coefficienti in K[x] che si annulla in a, si dice polinomio minimo di a (su K). Il polinomio minimo m(x) di a si può vedere anche considerando l'omomorfismo di valutazione F: K[x] --> L (cioè tale che F(u) = u, se u è in K e F(x)=a), infatti succede che Ker(F) è è un ideale di K[x] generato proprio da m(x). Inoltre, dal teorema di omomorfismo, si ha che K[x]/(m) è, isomorfo a K[a]. Si prova poi che il polinomio minimo m è irriducibile, quindi l'ideale (m) è primo e anche massimale, quindi K[x]/(m) è un campo, pertanto K[a] = K(a) è un campo. Estensione di campi. La notazione L:K. Grado di un'estensione: se L è un'estensione del campo K, allora L è uno spazio vettoriale su K. Con [L:K] si indica la dimensione di L come K-spazio vettoriale. Se [L:K]=n, si dice che l'estensione è di grado n.
Lezione 21: Data l'estensione L:K, sia a un elemento di L, algebrico su K. Allora vale: [K[a]:K] = n, dove n è il grado del polinomio minimo di a su K. Se in un'estensone L:K ogni elemento di L è algebrico su K, l'estensione si dice algebrica. Se vale: [L:K]= n, allora L è un'estensione algebrica di K. Legge della torre: se L : K e M : L sono due estensioni, allora vale: [M : K] = [M : L][L : K]. Dato un polinomio f irriducibile su un campo K, esiste un campo L che estende K e tale che f ammette uno zero in L (il campo L è definito da K[x]/(f) e lo zero di f è la classe di equivalenza di x in K[x]/(f)). Campo di riducibilità completa (o di spezzamento) di un polinomio di K[x]: è il più piccolo campo che contiene K e in cui f si spezza in un prodotto di fattori lineari. Se f è un qualunque polinomio di K[x], esiste sempre il campo di riducibilità completa per f (si prova per induzione sul grado di f: si scrive f come prodotto di fattori irriducibili; allora, per il risultato precedente, esiste un campo L dove uno dei fattori irriducibili di f ammette uno zero. Quindi in L[x] il polinomio f si spezza nel prodotto di un polinomio lineare e un polinomio g di grado più piccolo del grado di f. Si procede analogamente con g).
Lezione 22: Il Campo dei numeri complessi, visto come il quoziente R[x]/(x²+1). Ancora sulle estensioni di campi. Campi finiti. Se K è un campo finito, allora ha pⁿ elementi, dove p è la caratteristica ed n è un numero naturale. Questo segue dal fatto che K contiene Z_p ed è uno spazio vettoriale su Z_p . Il teorema dell'elemento primitivo: Se K è un campo finito, allora il gruppo K\{0} rispetto al prodotto è un gruppo ciclico.
Lezione 23: Ancora sui campi finiti. Ogni campo finito è della forma Z_p[x]/(q) dove q è un polinomio irriducibile. Dati p primo ed n numero naturale, esiste sempre un campo finito con pⁿ elementi (si costruisce considerando il campo di riducibilità completa di x^m-1, dove m = pⁿ. Dati due campi finiti con lo stesso numero di elementi, sono isomorfi. Pertanto per ogni p ed n esiste un unico campo finito con pⁿ elementi. Esso si chiama campo di Galois e si indica con GF(p, n).

Vai al vecchio sito del corso di Algebra.