Facoltà di Scienze Matematiche,
Fisiche e Naturali
Corso di Studi in Matematica
Anno accademico 2013/2014
Programma del corso di
Analisi Funzionale
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda
1. Grado topologico
Premesse sul teorema di Stone-Weierstrass. Teorema di esistenza e unicità del grado di Brouwer.
Calcolo del grado per situazioni particolari: applicazioni lineari,
funzioni regolari con valore di riferimento regolare, indice di
avvolgimento nel piano. Cenni sul grado di Leray-Schauder.
2. Calcolo differenziale
Differenziale di Frechét e di Gateaux di una funzione in spazi
normati. Teorema della funzione implicita. Differenziali di ordine
superiore. Simmetria del differenziale secondo. La formula di Taylor.
3. Operatori in spazi di Hilbert
Operatori lineari, limitati e non. Operatore aggiunto. Operatori
autoaggiunti. Spettro di un operatore, proprietà generali.
Spettro di un operatore autoaggiunto, di un operatore compatto, e di un
operatore a risolvente compatto. Funzioni di operatori: polinomi,
funzioni continue, funzioni a gradini. Teorema spettrale per un
operatore autoaggiunto limitato. Cenni sull’estensione della
teoria ad operatori non limitati.
TESTI CONSIGLIATI:
1. J. Dieudonné, Foundations of modern analysis, Academic Press, New York, 1960.
2. N. G. Lloyd, Degree theory, Cambridge Univ. Press, 1978.
3. A. Avez, Calcul differentiel, Masson, Parigi, 1997.
4. G. Helmberg, Spectral theory in Hilbert space, North-Holland, Amsterdam, 1969.
Appunti del corso - parte prima
Appunti del corso - parte seconda
Appunti del corso - parte terza