Facoltà di Scienze Matematiche,
Fisiche e Naturali
Corso di Studi in Matematica
Anno accademico 2011/2012
Programma del corso di
Analisi Matematica III - modulo B
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda
1. Integrale di Riemann per funzioni di più variabili
Integrale su un rettangolo: definizione e proprietà
elementari. La formula di riduzione. Integrale su domini più
generali. La misura di Peano-Jordan. Formula di cambiamento di
variabili nell'integrale. Coordinate polari, cilindriche, sferiche.
Integrale di funzioni non limitate o definite su insiemi non
limitati.
2. Integrale di funzioni scalari su una M-superficie
Lunghezza di una curva, area di una superficie. L'esempio di
Peano-Schwarz. Integrale di una funzione scalare su una curva e su una
superficie. Parametrizzazioni e M-superfici. Integrale di una
funzione scalare su una M-superficie. Integrale sulle varietà
differenziali (cenni).
3. Integrale di forme differenziali su una M-superficie
Definizione di M-forma differenziale. Componenti di una forma
differenziale e campo di vettori associato. Prodotto esterno,
differenziale esterno. Rotore e divergenza di un campo di vettori.
Integrale di una M-forma differenziale su una M-superficie. Integrale
di linea, di superficie (flusso) e di volume. Incollamenti, bordo
orientato di un rettangolo e di una M-superficie. La formula di Gauss e
il teorema di Stokes-Cartan. Formule di Stokes-Ampère,
Gauss-Ostrogradski e Gauss-Green. La formula di Stokes-Cartan sulle
varietà differenziali (cenni). Forme differenziali chiuse ed
esatte: il teorema di Poincaré.
TESTI CONSIGLIATI:
1. A. Fonda, "Lezioni sulla teoria dell'integrale", Ed. Goliardica, Trieste, 2001.
2. C. Pagani e S. Salsa, "Analisi
matematica, volume 2", Ed. Masson, Milano, 1993.
3. G. Prodi, "Lezioni di analisi matematica II",
Ed. ETS, Pisa, 1970.
4. M. Spivak, "Calculus on manifolds", Ed. Benjamin, Amsterdam, 1965.
Regolamento d'esame