Università degli Studi di Trieste
Corso di Studi in Fisica
Anno accademico 2020/2021
Programma del corso di
Analisi Matematica I
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda
1. Insiemi numerici
I numeri naturali e il principio di induzione. La formula del binomio di
Newton. L'insieme R dei numeri reali. Estremo superiore e inferiore. La
radice quadrata. Densità dei razionali e degli irrazionali. Teorema di
Cantor sulle successioni di intervalli inscatolati. Primo teorema di
Bolzano-Weierstrass. Il campo dei numeri complessi. Lo spazio R^N :
prodotto scalare, norma, distanza.
2. Funzioni continue e limiti tra spazi metrici
Spazi metrici: intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi. Interno e chiusura
di un insieme. Continuità di funzioni tra spazi metrici, e in particolare
delle funzioni di R^N in R^M. Somma, differenza, prodotto, quoziente,
composizione di funzioni continue. Il teorema degli zeri. Esponenziale e
logaritmo. Continuità della funzione inversa. Le funzioni trigonometriche.
Punti di accumulazione. Limite di una funzione tra spazi metrici.
Operazioni con i limiti. Formula di cambiamento di variabile. Teorema dei
due carabinieri. Limiti delle restrizioni: limite destro e sinistro.
Funzioni monotone. La retta ampliata e sue proprietà relative ai limiti.
Limiti di successioni. Il numero di Nepero e il numero "pi greco". Limiti
notevoli per l'esponenziale, il logaritmo e le funzioni trigonometriche.
Secondo teorema di Bolzano-Weierstrass. Compattezza, massimi e minimi:
il teorema di Weierstrass. Completezza, teorema di Heine.
3. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale
La derivata come limite del rapporto incrementale. Derivate successive.
Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzioni composte,
inverse. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Regole di de
l'Hopital. Caratterizzazione delle funzioni derivabili monotone. Funzioni
convesse e concave. Studi di funzione. Formula di Taylor con resto di
Lagrange. Cenni sulle funzioni analitiche e la funzione esponenziale
complessa.
4. Calcolo Integrale per funzioni reali di una
variabile reale
Somme inferiori e superiori. Funzioni integrabili secondo Riemann.
Proprietà elementari dell’integrale. Integrabilità delle funzioni
continue. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo.
Integrazione per sostituzione e per parti. Formula di Taylor con
resto integrale.
1. M. Dolcher: "Elementi di analisi matematica", Ed. Lint, Trieste, 1991 (due volumi).
2. E. Giusti, "Analisi matematica", Ed. Bollati Boringhieri, Torino, 1988.
3. C. Pagani e S. Salsa, "Analisi matematica", Ed. Masson, Milano, 1993.
4. G. Prodi, "Analisi matematica", Ed. Bollati Boringhieri, Torino, 1970.
5. W. Rudin, "Principi di analisi matematica", Ed. MacGraw-Hill, Milano, 1990.