Title: Ethan Frome
Author: EW/LN/CB
Last saved by: Dipartimento Sc. Matematiche
Company: Università di Trieste
Keywords: Ethan

Crittografia e statistica con le calcolatrici grafiche
Massimo Borelli °, Sergio Invernizzi °°, Andrea Sgarro °°
° I.P.S.I.A. "Scipione de Sandrinelli" e Facoltà di Medicina e Chirurgia
°° Dipartimento di Scienze Matematiche
Trieste
{ borelli , inverniz , sgarro } @units.it

Sunto
La crittografia è un modo stimolante per introdurre e consolidare le idee in un vasto numero di discipline matematiche e informatiche, dalla statistica al calcolo combinatorio, dall'aritmetica modulare alla probabilità, dalla linguistica alla programmazione. Dalle esperienze tratte da una sperimentazione decennale, ecco un ulteriore percorso didattico per introdurre le nozioni elementari della statistica e far conoscere la calcolatrice grafica ad allievi del primo biennio di scuola superiore.
Rovigno d'Istria, Mavrovouni, Grado, agosto 2002.
Perché la crittografia?
... perché siamo convinti che la crittografia possa essere un modo divertente e non banale per introdurre in classe argomenti più o meno tradizionali (algebra, aritmetica modulare, algoritmi, calcolo combinatorio e, per l'appunto, statistica), realizzando l'intento di perseguire nuovi obiettivi e nuove metodologie nella didattica della matematica. La nostra è, ovviamente, una proposta; una proposta che di primo acchito potrebbe apparire pretenziosa: tuttavia, le nostre esperienze ci mostrano come dato di fatto che le abilità logiche possedute dagli allievi che affrontano lo studio universitario stanno decrescendo nel tempo. Naturalmente, esperti della didattica hanno suggerito percorsi formativi per ovviare a queste carenze basati sull'algebra o sulla geometria euclidea: cionondimeno, l'approccio utilizzato è quello tradizionale, assiomatico-deduttivo; un'approccio generalmente sgradito agli adolescenti, soprattutto a coloro i quali hanno scelto un'istruzione secondaria di tipo tecnico o professionale. Al contrario, la crittografia riesce a stimolare le abilità degli allievi nel "problem solving" e le loro capacità deduttive in una maniera che è direttamente collegata al linguaggio naturale: ne abbiamo avuto conferma in sperimentazioni, di durata pluriennale, condotte dal Nucleo di Ricerca Didattica del nostro Dipartimento sinanco a livello di scuola elementare [4], durante le quali gli allievi hanno costantemente mostrato di saper formulare congetture o confutare ipotesi. E l'attività si è sempre svolta in un clima di gioco: raffinato da un punto di vista logico, e motivante. Inoltre, la crittografia ha un ulteriore punto di forza rispetto agli approcci "tradizionali": l'approccio alla matematica avviene in un modo empirico, in una situazione di laboratorio, nella quale il computer e la calcolatrice affiancano lo studio in modo naturale.
Da ultimo, noi riteniamo che oggidì la crittografia debba essere un argomento culturale che appartiene al cittadino: in un'epoca in cui trasmettiamo via Internet il numero della carta di credito per i nostri acquisti o ricarichiamo il telefonino comunicando un codice di autenticazione, chiunque dovrebbe essere consapevole ad esempio di cosa siano i sistemi di protezione tattici della sicurezza e della segretezza, come le password, e saperli distinguere da quelli strategici, e professionali, come il cifrario RSA.
Un po' di storia

Attualmente la crittografia è considerata un ramo dell'informatica: ma essa non è una scienza moderna! Basti pensare che un esempio di "scrittura nascosta" (per l'appunto, l'etimo greco del termine crittografia) appare nell'Antico Testamento per non nominare il trigramma divino BBL (Babel, ossia Babele): si tratta di utilizzare una tecnica nota con il termine di cifrario a sostituzione semplice: ad ogni lettera dell'alfabeto ne viene associata in modo biunivoco un'altra:

Ad esempio, al messaggio in chiaro calmo corrisponde il messaggio in cifra o crittogramma xzonl, e la chiave per cifrare o decifrare i messaggi consiste in una permutazione dell'ordine naturale dell'alfabeto. Giulio Cesare utilizzava invece un cifrario a rotazione:

(ed in tal caso calmo diventa fdopr). Più in generale, un cifrario completo è rappresentato da una qualsiasi permutazione dell'alfabeto, e quindi potenzialmente abbiamo a disposizione 26! chiavi.
Ma ancorché 26! sia un numero gigantesco (praticamente le molecole di un metro cubo di acqua...) per un disonesto crittanalista è molto semplice forzare la chiave di cifratura, utilizzando metodi statistici legati al principio di massima verosimiglianza. Come viene ben esposto da Edgar Allan Poe nel suo romanzo "Lo scarabeo d'oro", siccome in un qualsiasi testo la vocale A è molto frequente, mentre la lettera Q non lo è affatto (nella lingua italiana risulta circa il 12% per la A rispetto allo 0,6% delle Q), se in un messaggio cifrato incontreremo ad esempio la lettera W con una frequenza vicina al 12%, potremmo supporre che si tratti della A e provare così a forzare il codice. Questa brillante idea non appartiene però allo scrittore ottocentesco inglese, bensì al filosofo arabo Al Kindi, vissuto mille anni prima, che analizzando il Corano aveva già allora realizzato un'accurata descrizione statistica della lingua araba. Queste idee giunsero durante il Rinascimento a conoscenza degli italiani Leon Battista Alberti e Giambattista Della Porta, e al francese Blaise de Vigenère, i quali ebbero l'intuizione di utilizzare cifrari polialfabetici, nei quali le permutazioni della chiave sono parecchie, a turno. In definitiva, in un cifrario polialfabetico, ogni permutazione in realtà è una rotazione dell'alfabeto, come in questo quadro:
| | | a | b | c | d | e | ... | t | u | v | z | | |
| | | b | c | d | e | f | ... | u | v | z | a | | |
| | | c | d | e | f | g | ... | v | z | a | b | | |
| | | d | e | f | g | h | ... | z | a | b | c | | |
| | | | ... | | | | | | | ... | | | |
| | | v | z | a | b | c | ... | r | s | t | u | | |
| | | z | a | b | c | d | ... | s | t | u | v | | |
per cui, se vogliamo trasmettere il messaggio di Enrico di Navarra:
Parigi val bene una messa
utilizzando la parola chiave flauto, ossia:
flauto fla utof lau tofla
entriamo dall'alto del quadro con le lettere del messaggio in chiaro (ad esempio la P di Parigi), e da sinistra con le lettere della parola chiave (la f di flauto), ed otteniamo il messaggio cifrato (in questo caso la u di ulrfcz)
ulrfcz dll vacl gnu gsaea
Proprio in epoca rinascimentale apparvero le prime macchine a ruote concentriche, manuali, per cifrare e decifrare i messaggi e più tardi, nel Novecento, furono realizzate macchine elettromeccaniche che consentivano di utilizzare periodi di cifratura, ossia parole chiave, di lunghezza molto elvata: la più famosa di queste, recente soggetto di un film per il cinema, fu la macchina Enigma, utilizzata dai nazisti e forzata dai servizi segreti alleati. Al giorno d'oggi i cifrari a sostituzione e polialfabetici vengono portati a forme estreme, come nel caso del Data Encryption Standard, utilizzato dalla crittografia commerciale: in esso si alternano sostituzioni a trasposizioni, ossia anagrammi (studiati da Girolamo Cardano nel cinquecento, e narrati da Giulio Verne nel suo "Mattia Sandorf" o nel "Viaggio al centro della Terra"). Oppure come nel caso del cifrario one-time pad, nel quale la chiave è un numero (binario) casuale di lunghezza potenzialmente infinita (garanzia di inattaccabilità assoluta al cifrario!). O infine nel cifrario Rivest Shamir Adleman, nel quale la chiave non solo non è segreta, ma addirittura è pubblica... e ciò nonostante, la fase illecita di crittanalisi richiederebbe comunque a quanto ne sappiamo un tempo superiore a quello della vita dell'universo! [3]

Le esperienze precedenti
Diciamo innanzitutto che le idee che proponiamo sono confortate da una sperimentazione che è stata condotta a partire dal 1989, quando il Nucleo di Ricerca Didattica di Trieste ha proposto ad un gruppo di insegnanti elementari di far giocare i giovani allievi a crittografare e crittanalizzare dei messagi segreti [4] utilizzando i cifrari a rotazione. I ragazzini sono riusciti così a riscoprire in modo autonomo il principio di massima verosimiglianza dell'inferenza statistica, e sono riusciti a cogliere in un modo del tutto intuitivo e naturale la nozione di frequenza relativa. Tutto ciò, naturalmente, si era svolto con una tecnologia "di livello zero": la carta e la matita. Gli allievi, in poco tempo e utilizzando trucchi "semantici" piuttosto che statistici, sono diventati molto abili nel decifrare i messaggi e quindi hanno preferito utilizzare cifrari a sostituzione completa: le permutazioni dell'alfabeto venivano memorizzate in modo molto semplice servendosi di un motto segreto, ad esempio EVVIVA LA TECNOLOGIA, eliminando le ripetizioni e completando l'alfabeto, in ordine inverso:
e v i a l t c n o g z u s r q p m h f d b
Gli allievi erano capaci alla fine di lavorare su crittogrammi di centinaia di lettere, e lavorando "in parallelo" riuscivano a costruire un istogramma delle frequenze basandosi su un testo di circa un migliaio di parole. Inoltre avevano congegnato loro stessi i dispositivi di cifra, realizzando ruote concentriche o regoli scorrevoli. Gli insegnanti avevano colto al balzo la possibilità di introdurre le nozioni di funzione biunivoca, di funzione inversa, e dell'aritmetica modulare.
La sperimentazione è proseguita poi nel corso degli anni, estendendosi anche ad altre realtà nazionali [1]. Recentemente, queste idee sono state presentate alla seconda Conferenza Internazionale sull'Insegnamento della Matematica, ICTM2, [2], sia per esibire una proposta concreta e sperimentata di curricula innovations, ma anche come un nuovo tentativo: affiancare e far interagire alla tecnologia di livello zero (carta e matita) e la tecnologia elevata (calcolatore) la tecnologia intermedia delle calcolatrici grafiche. Vediamo come.
Il ruolo delle calcolatrici grafiche
Durante quest'anno scolastico desideriamo dunque estendere questa sperimentazione ad alcune classi del biennio di istituti professionali, avendo in mente essenzialmente due finalità: introdurre innanzitutto i concetti elementari della statistica ad allievi che nella maggior parte dei casi non ne hanno mai avuto cognizione; introdurli inoltre all'utilizzo delle calcolatrici grafiche. Si pongono quindi obiettivi didattici di livello iniziale, inerenti alla conoscenza ed alla comprensione di semplici fatti e procedure. Detto per inciso, numerosi ed altrettanto validi potrebbero essere gli spunti per presentare percorsi formativi adatti sia ad allievi con maggiori competenze matematiche (pensiamo ad esempio ai licei scientifici), o già in possesso di abilità tecnologico/informatiche.
Operativamente, dopo aver introdotto i concetti iniziali ed aver fatto qualche semplice esperienza con i cifrari a sostituzione, ci si potrà concentrare sull'analisi di un testo: agli allievi verrà fornita una lista numerica creata dall'insegnante (utilizzando dei software che consentono sostituzioni multiple simultanee in stringhe di caratteri ASCII, o più banalmente con un qualunque editor di testo con la funzione TROVA... SOSTITUISCI...)

relativa ad esempio al testo crittografato:
EGTCWPCXQNVCWPTG...
e verrà chiesto di indagare sulla frequenza assoluta delle singole lettere,  per scoprire ad esempio che la C (ossia il numero 3) appare circa il 12 per cento delle volte:

e scoprire che C, G, K, sono così frequenti come lo sono nella lingua italiana A, E, I:
 
per giungere alla decrittazione finale:
CERAUNAVOLTAUNRE...
Bibliografia
[2] L. Berardi, A. Beutelspacher, Sui messaggi segreti: una introduzione alla Crittologia, in Periodico di matematiche - Organo della mathesis, VII 7 (2-3), 11-21, 2000.
[3] M. Borelli, A. Fioretto, A. Sgarro, L. Zuccheri, Cryptography and Statistics: a didactical project, in Proceedings of  ICTM2, Creta (Grecia), 2002.
[6] A. Sgarro, Crittografia, Muzzio, Padova, 1993.
[7] L. Zuccheri, Crittografia e Statistica nella scuola elementare, in L'insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 15 (1), 19-38, 1992.

Presentato al Quarto Convegno Nazionale
della Associazione per la Didattica con le Tecnologie
Capitolo di Monopoli (Ba), ottobre 2002.