Calcolo delle probabiltà e variabili aleatorie
discrete
Utilizzo dei comandi del
foglio elettronico: "DISTRIB.BINOM"
Esercizio P1.
In una città gli
abitanti del rione X costituiscono siano circa il 18% della popolazione
dell’intera città. Si sa inoltre che il 29% degli abitanti di
tale rione X e il 6% degli abitanti degli altri rioni sono affetti da
una malattia respiratoria cronica.
Qual è la probabilità che un cittadino scelto a caso sia
affetto dalla malattia?
Gli eventi malattia e abitare nel rione X sono indipendenti?
Esercizio P2.
Un paziente non-fumatore
(e che non ha mai fumato) si presenta dal medico in quanto lamenta una
forma di tosse cronica. Il paziente viene sottoposto a una biopsia al
polmone. La biopsia fornisce tre risultati: B1=sarcoidosi,
B2=tumore al polmone, B3= nessun problema (né sarcoidosi,
né tumore al polmone). Sia A l’evento ‘tosse cronica’.
Si sa che P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.9, P(A|B3)=0.001 e che, per non
fumatori, P(B1)=0.009, P(B2)=0.001, P(B3)=0.99.
Con che probabilità il paziente ha un tumore al polmone?
Cosa si può dire invece di un paziente che da molti anni fuma
due pacchetti di sigarette al giorno, e per cui valgono le seguenti
probabilità: P(B1)=0.005, P(B2)=0.015, P(B3)=0.98?
Esercizio P3.
E’ noto che in una certa
popolazione una malattia colpisce 3 neonati su 10. In un ospedale si
prevede che nel mese di maggio 2003 nasceranno 12 bambini.
Con che probabilità mi aspetto che questi 12 bambini siano tutti
sani?
Con che probabilità mi aspetto che questi 12 bambini siano tutti
malati?
E’ più probabile che ci siano 3 o 10 bambini malati?
Esercizio P4.
E’ noto che una certa
malattia colpisce un neonato su 1.000. In un ospedale si prevede che
nel 2003 nasceranno circa 3.000 bambini.
Con che probabilità mi aspetto che tra questi ce ne sia uno che
presenta tale malattia?
Con che probabilità mi aspetto che ce ne siano dieci?
Calcolare il valore atteso di tale variabile aleatoria?
Esercizio P5.
Quali valori può
assumere la variabile aleatoria X costituita dalla somma dei valori nel
lancio di tre dadi non truccati? In particolare quanto deve valere
P(X=3), P(X=4), P(X=17), P(X=18)?
Quanto vi aspettate che debba valere il valor medio E(X)?
Esercizio P6.
In una ditta lavorano 12
operai che usano apparecchiature collegate alla stessa rete elettrica.
Ciascun operaio dispone di un’apparecchiatura che assorbe 1 Kilowatt e
la usa, in modo indipendente dagli altri, mediamente per 10 minuti ogni
ora. Se la potenza della rete è di 5 Kilowatt, qual è la
probabilità che non vi sia un sovraccarico?
Esercizio P7.
Lo stesso tipo di motore,
che ha probabilità p di rompersi, equipaggia un modello di aereo
bimotore ed un modello di aereo quadrimotore. Si supponga che il
bimotore possa volare sicuro anche con un solo motore e che il
quadrimotore possa volare sicuro anche con due soli motori. Trovare
l’aereo più sicuro (porre ad esempio p=0.2, 0.3, 0.5, 0.8)
Esercizio P8.
Un neon su due si brucia
entro un periodo di sei mesi se lasciato acceso ininterrottamente.
Viene montato un neon su ciascuno degli otto pianerottoli di un palazzo.
Qual è la probabilità che nessun neon si sia bruciato
dopo sei mesi?
Qual è la probabilità che si siano bruciati tutti e otto
i neon dopo sei mesi?
In media quanti neon mi aspetto che si bruceranno in tale periodo?
Esercizio P9.
Una casa di cura privata
convenzionata con il S.S.N. possiede 20 letti disponibili per
interventi di day hospital. Tuttavia, di solito accade che il 10% dei
pazienti già prenotati non si presenta all’appuntamento. Per
tale motivo il CUP propone di accettare fino ad un massimo di 22
prenotazioni al giorno. E’ una buona scelta oppure è rischiosa?
In altri termini, qual è la probabilità di ritrovarsi con
almeno un paziente che non trova un letto pronto ad accoglierlo?
Esercizio P10.
Supponiamo che il 30% di
pazienti punti con un ago infetto dal virus dell’epatite B sviluppi
realmente la malattia. Supponiamo ora di selezionare in maniera
arbitraria 5 individui dalla popolazione di tali pazienti.
Quale è la probabilità che nessuno di questi 5 sviluppi
la malattia?
Quale è la probabilità che la malattia si sviluppi nella
maggioranza dei casi?
Su 50 di tali pazienti in quanti casi in media mi aspetto che si
sviluppi la malattia?
Esercizio P11.
Una azienda che produce
incubatrici si aspetta che solo il 3% della produzione funzioni male
durante il periodo di garanzia.
In un campione di 20 incubatrici, dire quale è la
probabilità che nessuna incubatrice funzioni male durante tale
periodo.
Quale è la probabilità che tutte le incubatrici
funzionino male durante tale periodo?
Su tale campione, in media quante incubatrici mi aspetto che funzionino
male, sempre durante il periodo di garanzia?
Esercizio P12. (paulo difficiliora)
E’ noto che il tempo di
vita medio di un certo dispositivo è pari a 290 ore. Supponendo
che il tempo di vita medio sia distribuito normalmente, qual è
il massimo valore che deve avere lo scarto ? se si vuole che la
probabilità che un dispositivo abbia vita compresa tra 250 e 330
ore sia del 95%?
Esercizio P13.
Una ditta afferma che la
percentuale di pezzi difettosi prodotti risulta del 3% e pertanto
confeziona scatole contenenti 103 pezzi asserendo che in questo modo
l’acquirente è praticamente certo di avere almeno 100 pezzi
buoni. Siete d’accordo con questo ragionamento?
Esercizio P14.
Si stima che su 1.000
schede prodotte 15 saranno difettose durante il periodo di garanzia. Si
prevede che nel 2003 verranno vendute circa 2.500 schede.
In media quante schede mi aspetto che siano difettose?
Con che probabilità mi aspetto che tra queste 2.500 schede
nessuna sia difettosa?
Con che probabilità mi aspetto che le difettose siano da 25 a 30
(cioè che ce ne siano 25, 26, 27, ... o 30 difettose)?
Senza fare i calcoli: la probabilità che ce ne siano da 30 a 35
difettose sarà maggiore o minore rispetto a quella da 25 a 30
appena calcolata?
Esercizio P15.
Un pullman può
portare 54 passeggeri. Si sa che generalmente il 3% delle persone che
hanno acquistato il biglietto non si presenta alla partenza. Per tale
motivo l’agenzia mette in vendita 56 biglietti.
Qual è la probabilità che delle persone rimangano a terra?
E se l’agenzia avesse messo in vendita solo 55 biglietti?
Esercizio P14.
Fare l’istogramma della
variabile aleatoria ‘lancio di un dado’; analogamente per il ‘lancio di
due dadi’.
Esercizio P15. (paulo difficiliora)
Durante un'emergenza
sanitaria in un reparto ospedaliero, nell'arco di un congruo periodo di
tempo, vengono registrati 18 casi di infezione in un gruppo di 124
pazienti. La prassi sanitaria, considerata la
particolare gravità della patologia correlata all'infezione
osservata, prevede che debba essere garantita l'assistenza di almeno un
Infermiere per ogni paziente malato.
Uno dei compiti principali della caposala del Servizio infermieristico
è quello di stabilire la turnazione degli Infermieri nel
reparto, che dispone di 24 posti letto. In accordo con il Primario, si
decide di garantire la presenza H24 di 3 infermieri in turno.
Si tratta di una scelta coerente con le esigenze sanitarie ? Ovvero
qual'è la probabilità che possa capitare un numero di
ricoverati infetti maggiore del numero di Infermieri disponibili
(cioè 3) ?
Esercizio P16.
Nell’insieme delle
famiglie con 4 nascite di figli, calcolare la frequenza relativa di
quelle con al più una femmina, essendo p=0.481 la
probabilità che nasca una femmina.
Senza fare calcoli: mi aspetto che la frequenza relativa delle famiglie
con al più un maschio sia più alta, più bassa o
uguale a quella appena trovata per le famiglie con al più una
femmina?